Question

【题目】如图，已知椭圆： ，其左右焦点为、，过点的直线交椭圆于， 两点，线段的中点为， 的中垂线与轴和轴分别交于、两点，且、、构成等差数列．

（1）求椭圆的方程；

（2）记的面积为， （为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为；（2）方程为.

【解析】试题分析：（1）第一问比较简单直接列一个方程组，解出a,b,c即可. (2)第二问首先需要设出直线的方程（），再利用和相似得到，化简这个方程需要点G和点D的坐标，利用韦达定理求出点G和点D的坐标代入解关于k的方程即可.

试题解析：（1）因为、、构成等差数列，

所以，所以，

又因为，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与， 轴垂直．

设方程为（），

将其代入，整理得，

设， ，所以，

故点的横坐标为，所以，

设，因为，所以，

解得，即．

∵和相似，且，则，，

∴，

整理得，因此， ，

所以存在直线，方程为．