Question

【题目】如图所示，四棱锥中，底面为菱形， ， ， 为棱的中点，且.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当直线与底面成角时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）二面角的余弦值为.

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 先证，得到，根据可得，从而可得，于是平面．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，然后求出两向量夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值．

试题解析：

(Ⅰ)取的中点，连，

，

为等边三角形，

，

又， ，

，

又，

，又

，又

，

又，

平面.

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知， ，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设菱形的边长为2，则， ，

因为直线与底面成角，即，

，

，

，

设为平面的一个法向量，

由，令，则．

设为平面的一个法向量，

由，令，则 ，

，

由题可知二面角的平面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.