Question

【题目】已知函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为﹣1，设f（x）= ．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（3x）﹣t3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k ﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，

∴ =2，

解得：a=4，

当x=2时，函数取最小值b﹣4=﹣1，

解得：b=3

（2）解：由（1）得：g（x）=x2﹣4x+3，

f（x）=x﹣4+

若不等式f（3x）﹣t3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，

则t≤ 在x∈[﹣2，2]上恒成立，

当3x= ，即x=log32﹣1时， 取最小值﹣ ，

故t≤﹣

（3）解：令t=|2x﹣2|，t≥0，

则原方程可化为：t+ ﹣4+ ﹣3k=0，

即t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0，

若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k ﹣3k=0有三个不同的实数解，

则方程t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0有两个根，

其中一个在区间（0，2）上，一个在区间[2，+∞），

令h（t）=t2﹣（4+3k）t+（3+2k），

则 ，

即 ，

解得：k∈[﹣ ，+∞）

【解析】（1）根据函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为﹣1，可得实数a，b的值；（2）若不等式f（3x）﹣t3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，t≤ 在x∈[﹣2，2]上恒成立，进而得到实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k ﹣3k=0有三个不同的实数解，则方程t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0有两个根，其中一个在区间（0，2）上，一个在区间[2，+∞），进而可得实数k的取值范围．