Question

【题目】已知函数g（x）=ex ， f（x）= ，f（x）是定义在R上的奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若关于t的方程f（2t2﹣mt）+f（1﹣t2）=0有两个根α、β，且α＞0，1＜β＜2，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）= ，即a=1．又f（﹣1）=﹣f（1），即 ，可得b=e．

所以f（x）= ．

又f（﹣x）= ，

所以a=1，b=e成立

（2）解：f（x）= ，易得f（x）在R上单调递减．

方程f（2t2﹣mt）+f（1﹣t2）=0可转化为f（2t2﹣mt）=﹣f（1﹣t2），又函数f（x）是奇函数，则

f（2t2﹣mt）=f（t2﹣1）．又函数f（x）在R上单调递减，

所以2t2﹣mt=t2﹣1，即t2﹣mt+1=0．

考虑函数h（t）=t2﹣mt+1，

（i）若α=1或2，则m=2或 ，易得 ，与β∈（1，2）矛盾；

（ii）若0＜α＜1或α＞2，则h（1）h（2）＜0，即（2﹣m）（5﹣2m）＜0， ；

（iii）若1＜α＜2，则只需满足 ，

由以上（i）、（ii）、（iii）可知

【解析】（1）根据奇函数的定义求解；（2）利用奇函数的性质转化为一元二次不等式，借助与一元二次函数的关系进行判断．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．