Question

【题目】关于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[ ，+∞）
【解析】解：不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0，
则a（x2+3）≥|x+1|，
即a≥ ，
设t=x+1，则x=t﹣1，
则不等式a≥ 等价为a≥ = = ＞0
即a＞0，
设f（t）= ，
当|t|=0，即x=﹣1时，不等式等价为a+3a=4a≥0，此时满足条件，
当t＞0，f（t）= = ，当且仅当t= ，
即t=2，即x=1时取等号．
当t＜0，f（t）= = ≤ ，
当且仅当﹣t=﹣ ，
∴t=﹣2，即x=﹣3时取等号．
∴当x=1，即t=2时，fmax（t）= = ，
∴要使a≥ 恒成立，则a ，
方法2：由不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0，
则a（x2+3）≥|x+1|，
∴要使不等式的解集是（﹣∞，+∞），则a＞0，
作出y=a（x2+3）和y=|x+1|的图象，
由图象知只要当x＞﹣1时，直线y═|x+1|=x+1与y=a（x2+3）相切或相离即可，
此时不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0等价为不等式ax2﹣x﹣1+3a≥0，
对应的判别式△=1﹣4a（3a﹣1）≤0，
即﹣12a2+4a+1≤0，
即12a2﹣4a﹣1≥0，
（2a﹣1）（6a+1）≥0，
解得a≥ 或a≤﹣ （舍），
故答案为：[ ，+∞）

将不等式恒成立进行参数分类得到a≥ ，利用换元法将不等式转化为基本不等式的性质，根据基本不等式的性质求出 的最大值即可得到结论．