Question

【题目】已知a＞0且a≠1，函数f（x）= （a﹣x﹣ax），g（x）=﹣ax+2．
（1）指出f（x）的单调性（不要求证明）；
（2）若有g（2）+f（2）=3，求g（﹣2）+f（﹣2）的值；
（3）若h（x）=f（x）+g（x）﹣2，求使不等式h（x2+tx）+h（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：函数f（x）= （a﹣x﹣ax），

①当0＜a＜1时， 递减，

②当a＞1时， 递减，

∴当且a＞0且a≠1时，f（x）是减函数

（2）解：由题意g（x）=﹣ax+2．

设h（x）=f（x）+g（x）﹣2，则：h（x）= ，其定义域为R，关于原点对称，

h（﹣x）= = =﹣[ ]=﹣h（x）

∵h（﹣x）=﹣h（x），

∴h（x）是定义域为R的奇函数．

∵g（2）+f（2）=3，则：h（2）=1，

∴h（﹣2）=﹣1，即：g（2）+f（2）﹣2=﹣1

所以g（2）+f（2）=1

（3）解：由（2）知h（x）是定义域为R的奇函数，且在R上为减函数，

由h（x2+tx）+h（4﹣x）＜0，则有：h（x2+tx）＜h（﹣4+x）

∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，

∴△=b2﹣4ac=（t﹣1）2﹣16＜0

解得：﹣3＜t＜5，

故得t的取值范围是（﹣3，5）

【解析】（1）利用指数函数的单调性，对底数a讨论，即可单调性．（2）令f（x）+g（x）﹣2=h（x）．证明其奇偶性，利用奇偶性求值．（3）利用（1）（2）中的结论，将不等式转化为二次函数恒成立问题，即可求解t的取值范围．