【题目】某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染.为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放，该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本（元）与废气处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理吨工业废气可得价值为元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理.

（1）若该制药厂每天废气处理量计划定位20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？

（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求的取值范围；

（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为（）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求的值.

参考答案：

【答案】(1)400元；(2) ；(3) .

【解析】试题分析：（1）先根据函数关系求成本，再计算利润，两者之差为处理资金（2）由题意得成本不大于利润，根据分段函数分段讨论，最后求并集（3）成本与利润之差不大于补贴，为不等式恒成立，结合二次函数图像确定满足条件，解得的最小值.

试题解析：（1）由题意可知当该制药厂每天废气处理量计划为吨时，每天利用设备处理废气的综合成本为元

转化的某种化工产品可得利润元，

所以工厂每天需要投入废气处理资金为元.

（2）由题意可知，当时，令，解得；

当时，令，即，

此时，无解.

综上所述，当该制药厂每天废气处理量计划为吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量.

（3）市政府为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，当时，不等式恒成立，

即对任意恒成立，

令

则.

故市政府只要为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金.

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