Question

【题目】已知函数 (m,n∈R)在x=1处取得极值2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)k为何值时，方程f(x)-k=0只有1个根

(3)设函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范围

Answer 1

【答案】（1）；（2）k=或0；（3）.

【解析】试题分析：（1）先由已知函数求其导数，再根据函数 在 处取得极值 ，列出关于 的方程即可求得函数的解析式；（2）利用导数研究函数 的单调性，数形结合可得方程f(x)-k=0只有1个根时的 值；（3）函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，等价于当时， ，求出，结合换元法，分离参数后，利用基本不等式求解.

试题解析：（1）因为，所以.

又f(x)在处取得极值2，所以，即解得，

经检验满足题意，所以 .

（2），令，得.

当变化时， 的变化情况如下表：

所以f(x)在处取得极小值，在处取得极大值，

又时， ，所以的最小值为，

如图

所以k=或0时，方程有一个根.

(也可直接用方程来判断根的情况解决)

（3）由（2）得的最小值为，

因为对任意的，总存在，使得，

所以当时， 有解，

即在上有解.

令，则，所以.

所以当时， ；

的取值范围为.

【方法点晴】本题主要考查不等式有解问题、方程根的个数问题以及函数极值问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）,本题（3）就用了这种方法.