Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= ，连接CE并延长交AD于F

（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，

∴AE= BD，可得∠BAD= ，且∠ABE=∠AEB=

∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=

∴∠EDA=∠EAD= ，可得EF⊥AD，AF=FD

又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA

∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，

∵AD平面ABCD，∴FG⊥AD

又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG

（2）解：以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得

A（0，0，0），B（1，0，0），C（ ， ，0），D（0， ，0），P（0，0， ）

∴ =（ ， ，0）， =（﹣ ，﹣ ， ）， =（﹣ ， ，0）

设平面BCP的法向量 =（1，y1，z1），则

解得y1=﹣ ，z1= ，可得 =（1，﹣ ， ），

设平面DCP的法向量 =（1，y2，z2），则

解得y2= ，z2=2，可得 =（1， ，2），

∴cos＜ ， ＞= = =

因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于﹣cos＜ ， ＞=﹣ ．

【解析】（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD= ，且∠ABE=∠AEB= ．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA= ，所以EF⊥AD且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到 、 、 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出 =（1，﹣ ， ）和 =（1， ，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．