Question

【题目】已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量=(1,bn)， =(an－1,Sn)， //．

（1）若bn=2，求数列{an}通项公式；

（2）若， =0.

①证明：数列{an}为等差数列；

②设数列{cn}满足，问是否存在正整数l，m(l<m,且l≠2，m≠2)，使得成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②．

【解析】试题分析：（1）利用两个向量平行的坐标关系得到Sn=（an-1）bn，进一步对n取值，得到数列{an}是等差数列；（2）①由bn= ，则2Sn=nan-n③，又2Sn+1=（n+1）an+1-（n+1）④，两式相减即可得到数列{an}的递推公式，进一步对n 取值，得到数列{an}是首项为-1，公差为1的等差数列．
②由①得到数列{cn}通项公式，根据m，l的范围讨论可能的取值．

试题解析：（1)因为=(1,bn)， =(an－1,Sn)， //

得Sn=(an1)bn,当bn=2,则Sn=2an2①，

当n=1时,S1=2a12,即a1=2,

又Sn+1=2an+12②，

②①得Sn+1Sn=2an+12an，

即an+1=2an,又a1=2，

所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,

所以an=2n.…(4分)

(2)①证明：因为bn=n2,则2Sn=nann③，

当n=1时,2S1=a11,即a1=1，

又2Sn+1=(n+1)an+1(n+1)④，

④③得

2Sn+12Sn=(n+1)an+1nan1,

即(n1)an+1nan1=0⑤，

又nan+2(n+1)an+11=0⑥

⑥⑤得,nan+22nan+1+nan=0，

即an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列

②又a1=1,a2=0，

所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列。

an=1+(n1)×1=n2,所以cn=n+1n,…(10分)

假设存在l<m(l≠2,m≠2),使得cl、c2、cm成等比数列,即c22=clcm，

可得94=l+1lm+1m,

整理得5lm4l=4m+4即l=4m+45m4,由4m+45m41,得1m8

由<m,所以存在=1,m=8符合条件