Question

【题目】已知圆为圆上任一点.

（1）求的最大值与最小值；

（2）求的最大值与最小值.

Answer 1

【答案】（1）最大值是，最小值是；（2）最大值是，最小值是.

【解析】

（2）试题分析：（1）是圆上的点与点连线的斜率，最大、最小值分别是过点的圆的两条切线的斜率.设切线的斜率为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率；（2）令，则，转化为线性规划问题求解，平移直线，当直线和圆有公共点时，的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.利用点到直线的距离公式，求得的取值范围.

试题解析：

（1）显然可以看作是点与点连线的斜率.令，如图所示，则其最大、最小值分别是过点的圆的两条切线的斜率.

对上式整理得，

∴，

∴.

故的最大值是，最小值是.

（3）令，则可视为一组平行线，当直线和圆有公共点时，的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.

依题意，得，取得，

故的最大值是，最小值是.