Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（ ）
A.1
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由选项知a＞0，
设g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，（x＞0），
若方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，
即g（x）=0有唯一解，
则g′（x）=2x﹣ ﹣2a= ，
令g′（x）=0，可得x2﹣ax﹣a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x1= （另一根舍去），
当x∈（0，x1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是单调递减函数；
当x∈（x1 ， +∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x1 ， +∞）上是单调递增函数，
∴当x=x2时，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），
∵g（x）=0有唯一解，
∴g（x1）=0，
∴ ，
∴ ，
∴2alnx1+ax1﹣a=0
∵a＞0，
∴2lnx1+x1﹣1=0，
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，
∵x＞0时，h（x）是增函数，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，
∴方程2lnx1+x1﹣1=0的解为x1=1，
即x1= =1，
∴ ，
∴当a＞0，方程f（x）=2ax有唯一解时a的值为 ．
故选：B．
构造函数g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，将方程有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．