Question

【题目】已知f（x）=x2+bx+c（b，c∈R，b＜0）．
（1）若f（x）的定义域为[0，1]时，值域也是[0，1]，求b，c的值；
（2）若b=﹣2时，若函数g（x）= 对任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，试求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：二次函数f（x）=x2+bx+c的对称轴是x=﹣ ，开口向上

①当0＜﹣ ≤ ，即﹣1≤b＜0

解得b=﹣4，c=4，不合题意；

②当 ，即﹣2＜b＜﹣1；

解得b=﹣2，c=1，不符合，舍去．

③当﹣ ，即b≤2 解得b=﹣2，c=1，符合．

∴b=﹣2，c=1

（2）解：若b=﹣2时，若函数g（x）= 对任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，

即 对x∈[3，5]恒成立，

即x2﹣（2+c）x+c＞0对x∈[3，5]恒成立．

即c＜ 对x∈[3，5]恒成立，c＜（x﹣1）﹣

令h（x）=（x﹣1）﹣ ，h（x）在x∈[3，5]为单调递增函数

∴h（x）min=h（3）= ∴c＜

【解析】（1）讨论对称轴x=﹣ 在区间[0，1]的位置关系，列出等式，解出a，b；（2）若b=﹣2时，若函数g（x）= 对任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，即可转化为：即c＜ 对x∈[3，5]恒成立．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．