Question

【题目】如图，点P在△ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α．

（1）试用α表示AP的长；
（2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π﹣α，

由余弦定理得，AC2=22+32﹣2×2×3cosα，①

AC2=AP2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②

由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π），

解得：AP=3﹣4cosα

（2）解：∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π），

∴S四边形ABCP=S△ABC﹣S△APC

= ×2×3sinα﹣ ×2×APsin（π﹣α）

=3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα

=4sinαcosα=2sin2α，α∈（0，π），

则当α= 时，Smax=2

【解析】（1）在三角形ABC中，由AB，BC及cosB，利用余弦定理列出关系式，记作①；在三角形APC中，由AP，PC及cosP，利用余弦定理列出关系式，记作②，由①②消去AC，得到关于AP的方程，整理后可用α表示AP的长；（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC及三角形APC的面积，两三角形面积之差即为四边形ABCP的面积，整理后将表示出的AP代入，根据正弦函数的图象与性质即可求出四边形ABCP的面积的最大值，以及此时α的值．
【考点精析】掌握余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道余弦定理:;;．