Question

【题目】已知四棱锥，平面，底面为直角梯形，，，，，是中点.

(1)求证：平面；

(2)若直线与平面所成角的正切值为，是的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：(1) 取中点，连接，，证明,然后用判定定理证明(2)建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和平面的法向量，运用公式计算

解析：（1）证明：取中点,连接，

在中，,,,

四边形为平行四边形.

又平面,平面

平面 .

（2）由已知得：两两垂直，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

平面，

就是与平面所成的角.

在中，，即，

设，则，

中，为斜边中点，

.

则，，，

所以，.

设是平面的一个法向量，则

，令，得.

设是平面的一个法向量，则

，令 .

.

二面角的余弦值为.