Question

【题目】已知点是椭圆的左右顶点，点是椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为，直线，的斜率之积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在过点的直线与椭圆交于两点，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）. （2）存在；直线的方程为：或.

【解析】试题分析：(1)由题意得，联立，解得椭圆方程(2) 设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数之间关系求得，代入整理求得答案

解析：（1）由题意可知，，，

有 ，

即，又，

解得，所以椭圆的方程为.

（2）存在；

以为直径的圆经过点可得，，若直线的斜率为，则为点，此时，此时不垂直，不满足题意，可设直线的方程为：，联立，消可得，，

则有 . ①

设，由题意可知，因为，

则，即，

整理可得：， ②

将①代入②可得：，

整理得，解得或者，

所以直线的方程为：或.