Question

【题目】．

（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；

（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：(1)先设切点坐标，根据导数几何意义得切线斜率，根据切点既在切线上也在曲线上，联立方程组可得．再利用导数研究 单调性，并根据零点存在定理确定零点唯一性，即得证结论，(2)先化简不等式为，再分析函数单调性及其值域，结合图形确定讨论a的取法，根据整数解个数确定a满足条件，解得的范围．

试题解析：

（1）设切点为，则 ①，

和相切，则 ②，

所以，

即．令，所以单增．又因为，所以，存在唯一实数，使得，且．所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．

（2）令，即，所以，

令，则，由（1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，，

当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；

当时，，又，所以两个整数解为0，1，即，

所以，即，

当时，，因为在内大于或等于1，

所以无整数解，舍去，综上，．