Question

【题目】已知函数，，，为自然对数的底数.

（Ⅰ）若函数在上存在零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数在处的切线方程为.求证：对任意的，总有.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）首先利用导数判断函数的单调性，然后由此求出函数的最小值，只要最小值小于0即可求出实数的取值范围；（Ⅱ）首先由条件得出的值确定函数解析式，然后由得到，最后构造前后两个函数，验证前一个函数的最小值大于后一个函数的最大值。

详解：（Ⅰ）易得.

若，有，不合题意；

若，有，

，满足题设；

若，令，得

∴在上单调递减；在单调递增，

则，∴.

又满足题设，

综上所述，所求实数.

（Ⅱ）证明：易得，，

则由题意，得，解得.

∴，从而，即切点为.

将切点坐标代入中，解得. ∴.

要证，即证（ ，

只需证 ）.

令， .

则由，得，

∴在上单调递减；在上单调递增，

∴.

又由，得

∴在上单调递增；在上单调递减，

∴.

∴，

显然，上式的等号不能同时取到.

故对任意的，总有.