Question

【题目】一列火车从重庆驶往北京，沿途有n个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个（k=1，2，…，n）．
（1）求数列{ak}的通项公式；
（2）当k为何值时，ak的值最大，求出ak的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：a1=n﹣1，考察相邻两站ak，ak﹣1之间的关系，

由题意知 k= k﹣1﹣（k﹣1）+（n﹣k），∴ k﹣ k﹣1=（n+1）﹣2k（k≥2）．

依次让k取2，3，4，…，k得k﹣1个等式，将这k﹣1个等式相加，得

k=nk﹣k2（n，k∈N+，1≤k≤n）．

（2）

解： ，

当n为偶数时，取k= ，ak取得最大值 ；

当n为奇数时，取k= 或 ， ak取得最大值 ．

【解析】本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的性质和应用．