Question

【题目】设函数f（x）=ax2－lnx。

（Ⅰ）当a=时，判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤x3+4x－lnx，在定义域内恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）f（x）在0＜x≤1上，函数为减函数；在x＞1上，函数为增函数；（2）a≤4.

【解析】试题分析：（1）将条件带入求导，得=x－，进而根据导数的正负可得函数的单调性；

（2）令H（x）= f（x）－(x3+4x－lnx)= －x3+x2－4x=x(－x2+ax－4)所以要使f（x）≤x3+4x－lnx，在定义域内恒成立，只需H（x）≤0，在定义域内恒成立，即x(－x2+ax－4) ≤0在x＞0上恒成立，进而转化为－x2+ax－4≤0在x＞0上恒成立，进而可得解.

试题解析：

（1）、当a=时，f（x）=x2－lnx， =x－

令导函数等于0，解得x=1或x=－1（舍），

所以当＞0时，x＞1，当＜0，0＜x＜1

所以f（x）在0＜x≤1上，函数为减函数；在x＞1上，函数为增函数。

（2）令H（x）= f（x）－(x3+4x－lnx)= －x3+x2－4x=x(－x2+ax－4)

所以要使f（x）≤x3+4x－lnx，在定义域内恒成立，只需H（x）≤0，在定义域内恒成立，

即x(－x2+ax－4) ≤0在x＞0上恒成立。

由于x＞0，所以只要－x2+ax－4≤0在x＞0上恒成立

所以应满足△≤0或者，所以a≤4.