Question

【题目】已知函数f（x）=log3（ax2+3x+4）
（1）若f（1）＜2，求a的取值范围
（2）若a=1，求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（1）＜2，

∴log3（a+7）＜2=log39，

∴0＜a+7＜9，

解得：﹣7＜a＜2

（2）解：若a=1，函数f（x）=log3（x2+3x+4）

x2+3x+4≥ ，且y=log3t为增函数，

故f（x）≥log3 ，

∴函数f（x）的值域为[log3 ，+∞）

【解析】（1）若f（1）＜2，则log3（a+7）＜2，解得a的取值范围（2）若a=1，则f（x）=log3（x2+3x+4），由二次函数的图象和性质，求出真数的范围，进而可得函数f（x）的值域．
【考点精析】通过灵活运用函数的值域和函数的最值及其几何意义，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．