Question

【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）由"左焦点为，右顶点为"得到椭圆的半长轴，半焦距，再求得半短轴最后由椭圆的焦点在轴上求得方程；（2）设线段的中点为，点的坐标是，由中点坐标公式，分别求得，代入椭圆方程，可求得线段中点的轨迹方程；（3）分直线垂直于轴时和直线不垂直于轴两种情况分析，求得弦长，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.

试题解析：（1）椭圆的标准方程为.

（2）设线段的中点为，点的坐标是，

由，得

点在椭圆上，得

∴线段中点的轨迹方程是.

（3）当直线垂直于轴时， ，因此的面积.

当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，

解得， ，

则，又点到直线的距离，

∴的面积

于是

由，得，其中，当时，等号成立.

∴的最大值是.