Question

【题目】已知三棱柱ABC﹣A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，E、F分别在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．
（1）求证：BB′⊥底面ABC；
（2）在棱A′B′上是否存在一点M，使得C′M∥平面BEF，若存在，求 值，若不存在，说明理由；
（3）求棱锥A′﹣BEF的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，

又因为平面BCC′B′⊥底面ABC，AO平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC=BC，

所以AO⊥平面BCC′B′，

又BB′平面BCC′B，所以AO⊥BB′．

又BB′⊥AC，AO∩AC=A，AO平面ABC，AC平面ABC．

所以BB′⊥底面ABC

（2）解：显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，

过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥CF，即C′M和FN共面，

所以C′M∥FN，

所以四边形C′MNF为平行四边形，所以MN=2，

所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．即

（3）解：
【解析】（1）取BC中点O，先证AO⊥BC，再由面面垂直的性质定理证得AO⊥面BCC'B'，再由线面垂直的判定定理即可得证；（2）显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，可通过线面平行的判断定理，即可证得；（3）利用等体积转化，即可求棱锥A′﹣BEF的体积．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．