Question

【题目】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将f（x）的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的对称轴及单调区间；
（3）若对任意x∈[0， ]，f2（x）﹣（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ω=2∴f（x）=sin（2x+φ）﹣b．

又 为奇函数，且0＜φ＜π，则 ， ，故

（2）解：令2x+ =kπ+ ，求得 ，k∈Z，可得f（x）的图象的对称轴为 ，k∈Z．

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函数的增区间为 ．

令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ，可得函数的减区间为

（3）解：由于 ，故 ，∵f2（x）﹣（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，

整理可得 ．

由 ，得： ，故 ，

即m取值范围是

【解析】（1）利用正弦函数的周期性、奇偶性，求得ω和φ的值，可得f（x）的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调区间．（3）利用正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，求得m的范围．
【考点精析】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识点，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能正确解答此题．