Question

【题目】已知函数，任取两个不相等的正数， ，总有，对于任意的，总有，若有两个不同的零点，则正实数的取值范围为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：先根据任取两个不相等的正数， ，总有可得函数为单调递增，再根据对于任意的，总有，利用换元法可求出函数的表达式，然后根据有两个不同的零点等价为在上有两个不同的解，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，即可求得正实数的取值范围.

详解：∵任取两个不相等的正数， ，总有

∴函数在上是单调增函数

令，则.

又∵对于任意的，总有

∴

令，则

∵函数在上是单调增函数

∴，即.

∴，则.

∵有两个不同的零点

∴在上有两个不同的解

设，则.

∴当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增.

∴

∴，即.

∵为正实数

∴

故答案为.