Question

【题目】已知：数列{an}中， =n，a2=6，n∈N+ ．
（1）求a1 ， a3 ， a4；
（2）猜想an的表达式并给出证明；
（3）记：Sn= + +…+ ，证明：Sn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时， ，a1=1；

当n=2时， ，a3=15；

当n=3时， ，a4=28．

∴a1=1，a3=15，a4=28

（2）解：猜想an=n（2n﹣1）．

证明：当n=1时，a1=1×（2×1﹣1）=1成立，当n=2时，a2=2×（2×2﹣1）=6成立；

假设当n=k（k≥2）时结论成立，即ak=k（2k﹣1），

那么，当n=k+1时，由 ，得 ，

∴ ，

得ak+1=（k+1）（2k+1），即n=k+1时，结论成立．

综上，an=n（2n﹣1）

（3）证明：∵ （n≥2）．

∴Sn= + +…+ ＜1+

【解析】（1）直接由数列递推式结合a2=6依次求得a1 ， a3 ， a4；（2）由数列前4项归纳猜测an=n（2n﹣1），然后利用数学归纳法证明；（3）由 （n≥2），作和后放缩得答案．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．