Question

【题目】已知F1 ， F2是椭圆C： + =1的左、右焦点．
（1）若点M在椭圆C上，且∠F1MF2=60°，求△F1MF2的面积；
（2）动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A，B两点，点T（t，0），问是否存在t∈R，使得 为定值，若存在求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a2=5，b2= ，c2=a2﹣b2= ，

设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，

∵ ，解得：mn= ，

∴△F1MF2的面积S，S= mnsin60°=

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴ ，化简得：（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0

由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

由直线恒过椭圆内一点（﹣1，0），则定有两个交点，

∵ =（x1﹣t，y1）， =（x2﹣t，y2），

∴ =（x1﹣t，y1）（x2﹣t，y2）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2，

=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+k2[x1x2+（x1+x2）+1]，

= ，

令 =3，解得：t=﹣ ，

故存在，t=﹣

【解析】（1）由题意可知，求得a，b和c的值，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，根据椭圆的定义即可求得mn= ，由三角形的面积公式，即可求得S= mnsin60°= ；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得x1+x2 ， x1x2 ， =（x1﹣t，y1）， =（x2﹣t，y2），根据向量数量积的坐标表示， =（x1﹣t，y1）（x2﹣t，y2）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2 ， =3，即可求得t=﹣ ，故存在在t∈R，使得 为定值．