Question

【题目】函数f（x）＝xlnx－a（x－1）2－x，g（x）＝lnx－2a（x－1），其中常数a∈R．

（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；

（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：在区间（1，＋∞）上存在f（x）的极值点x0，使得x0lnx0＋lnx0－2x0＞0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）x0＝e2

【解析】试题分析：（Ⅰ） 讨论a与0的大小；（Ⅱ）由第一问得当a＞0时，在区间（0，1]上，f（x）＜0是显然的，即在此区间上f（x）没有零点；又由于f（x）有两个零点，则必然f（x）在区间（1，＋∞）上有两个零点x1，x2（x1＜x2），讨论与1的大小，构造函数解出的值；

试题解析：

（Ⅰ）解：函数g（x）的定义域为（0，＋∞），导函数为．

①当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，g（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数；

②当a＞0时， ，并且，

在区间（0， ）上，g′（x）＞0，∴g（x）在（0， ）是增函数；

在区间（，＋∞）上，g′（x）＜0，∴g（x）在区间（，＋∞）上是减函数．

（Ⅱ）证明：当a＞0时，在区间（0，1]上，f（x）＜0是显然的，即在此区间上f（x）没有零点；又由于f（x）有两个零点，则必然f（x）在区间（1，＋∞）上有两个零点x1，x2（x1＜x2），

f′（x）＝lnx－2a（x－1），由（Ⅰ）知，f′（x）在区间（0， ）上是增函数，在区间（，＋∞）上是减函数．

①若，则，在区间（1，＋∞）上，f′（x）是减函数，f′（x）≤f′（1）＝0，f（x）在（1，＋∞）上单调递减，不可能有两个零点，所以必然有．

②当时，在区间（1， ）上，f′（x）是增函数，f′（x）＞f′（1）＝0；

在区间（，＋∞）上，f′（x）是减函数．依题意，必存在实数x0，使得在区间（，x0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；在区间（x0，＋∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．此时x0＞1，且x0是f（x）的极大值点．

所以f（x0）＞0，且f′（x0）＝0，即消去a得到x0lnx0＋lnx0－2x0＞0（x0＞1）．

设F（x）＝xlnx＋lnx－2x（x＞1），．

∵，∴x＞1时，F′（x）单调递增．又F′（1）＝0，

∴x＞1时，F′（x）＞0．∴x＞1时，F（x）单调递增．

又F（1）＝－2＜0，F（e2）＝2＞0．∴存在x0＝e2＞1满足题意．

亦可直接观察得到，x0＝e2时，e2lne2＋lne2－2e2＝2＞0，满足题意．

点睛: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.证明不等式往往是根据题意构造新函数，转化为求函数的最值，本题中因为导函数的零点不能直接求出，可通过设出零点，再证明函数在其两侧的单调性，说明其为最小值点，证其大于零.