Question

【题目】高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得50分的概率；
（2）得多少分的可能性最大；
（3）所得分数ξ的数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：得分为50分，10道题必须全做对．

在其余的四道题中，有两道题答对的概率为 ，有一道题答对的概率为 ，还有一道答对的概率为 ，所以得分为5（0分）的概率为：P= × × × = ；

（2）解：依题意，该考生得分的范围为{30，35，40，45，50}．

得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：P1= × × × = ．

同样可以求得得分为35分的概率为：P2= ﹣ × × × + × × × + × × × = ．

得分为40分的概率为：P3= ； 得分为4（5分）的概率为：P4= ；

得分为50分的概率为：P5= ．

所以得35分或得40分的可能性最大；

（3）解：由（2）可知ξ的分布列为：

ξ	30	35	40	45	50
P

∴Eξ=30× +35× +40× +45× +50× =

【解析】（1）根据题意，该考生10道题全答对即另四道题也全答对，根据相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案．（2）该考生选择题得分的可能取值有：30，35，40，45，50共五种．设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C．得分为30，表示只做对有把握的那4道题，其余各题都做错；得分为35时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的一题；得分为40时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的二题；得分为45时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的三题；得分为50时，表示10题全部做对，做出概率．（3）由题意知变量的可能取值分别是30，35，40，45，50，根据第二问做出的结果，写出离散型随机变量的分布列，根据期望的定义，即可求出期望
【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．