Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若把曲线各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标变为原来的，得到曲线，求曲线的方程；

（Ⅲ）设为曲线上的动点，求点到曲线上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,.

（Ⅱ）.

（Ⅲ） ，此时 的坐标为.

【解析】分析：（Ⅰ）直接消参得到直角坐标方程，利用极坐标公式把极坐标化成直角坐标方程.( Ⅱ)利用伸缩变换公式求曲线的方程.( Ⅲ) 设椭圆上的点,再求d的表达式，最后利用三角函数的图像性质求点到曲线上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.

详解：（Ⅰ）由曲线：（）得（为参数）,

∴，

即为曲线的普通方程.

由曲线 ，得，

∴即为的直角坐标方程.

（Ⅱ）依题意，设是曲线上任意一点，对应曲线上的点为，

则有， ∴ .

∵ : ，∴.

即所求曲线的方程为.

（Ⅲ）易知，椭圆与直线无公共点，设椭圆上的点，

从而点到直线的距离为

∴当时，，

此时，，∴点的坐标为.