Question

【题目】如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD= DB，点C为圆O上一点，且BC= AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．

（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，由AD= BD知，点D为AO的中点，

又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，

∵ AC=BC，∴∠CAB=60°，

∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．

∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

∴PD⊥平面ABC，又CD平面ABC，

∴PD⊥CD，PD∩AO=D，

∴CD⊥平面PAB，PA平面PAB，

∴PA⊥CD．

（2）解：过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，

由（1）知CD⊥平面PAB，又PB平面PAB，

∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，

∴PB⊥平面CDE，又CE平面CDE，

∴CE⊥PB，

∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角．

由（1）可知CD= ，PD=BD=3，

∴PB=3 ，则DE= = ，

∴在Rt△CDE中，tan∠DEC= = ，

∴cos∠DEC= ，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为

【解析】（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直线面垂直，再由线面垂直线线垂直；（2）通过作出二面角的平面角，证明符合定义，再在三角形中求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．