Question

【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是 （t是参数）
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|= ，求直线的倾斜角α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：

ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，

∴（x﹣2）2+y2=4

（2）解：将 代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：

（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，

化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则 ，

∴|AB|=|t1﹣t2|= = ，

∵|AB|= ，

∴ = ．

∴cos ．

∵α∈[0，π），

∴ 或 ．

∴直线的倾斜角 或

【解析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是 （t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1 ， t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．