Question

【题目】设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；
当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；
当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．
故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．
（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），
当且仅当a=b=c= 时，等号成立．
此时，ab+bc取得最大值 =1
【解析】（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．
【考点精析】掌握基本不等式和绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：；含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．