Question

【题目】如图，已知圆O的内接四边形BCED，BC为圆O的直径，BC=2，延长CB，ED交于A点，使得∠DOB=∠ECA，过A作圆O的切线，切点为P，

（1）求证：BD=DE；
（2）若∠ECA=45°，求AP2的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OE，∵圆O的内接四边形BCED，BC为圆O的直径，

BC=2，延长CB，ED交于A点，使得∠DOB=∠ECA，

∴CE∥OD，∴∠CEO=∠EOD，

∵CO=EO，∴∠OCE=∠OEC，

∴∠BOD=∠EOD，

∴BD=DE．

（2）解：解：（2）∵∠ECA=45°，BC为圆O的直径，BC=2，

∴∠COE=90°，∴CE= ，OD=1，

∵OD∥CE，∴ = ，解得AB= ，

∵过A作圆O的切线，切点为P，

∴AP2=AB（AB+2）= =2+2

【解析】（1）连结OE，由已知得CE∥OD，从而∠BOD=∠EOD，由此能证明BD=DE．（2）推导出∠COE=90°，CE= ，OD=1，AB= ，由此利用切割线定理能求出AP2 ．