Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x，

∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，

由f′（x）＞0，得x＜﹣ 或x＞2，

由f′（x）＜0，得﹣ ＜x＜2，

∴函数y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣ ），[2，+∞）；单调减区间是[﹣ ，2]．

（2）解：由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，

得 ，x2=2，

列表，得：

x	﹣1	（﹣1，﹣ ）	﹣	（﹣ ，2）	2	（2，4）	4
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	1	↑		↓	﹣8	↑	16

∴f（x）在[﹣1，4]上的最大值为f（x）max=f（4）=16，最小值为f（x）min=f（2）=﹣8．

【解析】（1）求出f′（x）=3x2﹣4x﹣4，利用导数性质能求出函数y=f（x）的单调增区间和单调减区间．（2）由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得 ，x2=2，列表讨论能求出f（x）在[﹣1，4]上的最大值和最小值．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．