Question

【题目】已知数列{bn}满足bn=| |，其中a1=2，an+1= ．
（1）求b1 ， b2 ， b3 ， 并猜想bn的表达式（不必写出证明过程）；
（2）由（1）写出数列{bn}的前n项和Sn ， 并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，an+1= ，∴ ， ，

又bn=| |，得b1=4，b2=8，b3=16，

猜想：

（2）解：由（1）可得，数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，

则有 ．

证明：当n=1时， 成立；

假设当n=k时，有 ，

则当n=k+1时， =2k+3﹣4=2（k+1）+2﹣4．

综上， 成立

【解析】（1）由已知结合数列递推式求得b1 ， b2 ， b3 ， 并猜想bn的表达式；（2）由等比数列的前n项和公式求得数列{bn}的前n项和Sn ， 并用数学归纳法证明．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数学归纳法的定义，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案．