Question

【题目】若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣5，﹣2）
【解析】解：f′（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5， 若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调，
则4（k﹣1）2﹣12（k+5）≤0 ①
或 ②
或 ③
或 ④．
解①得﹣2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈；解④得k≤﹣5．
综上，满足函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调的k的范围为k≤﹣5或k≥﹣2．
于是满足条件的实数k的范围为（﹣5，﹣2）．
所以答案是：（﹣5，﹣2）．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．