Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）当时，求证：；

（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】试题分析: （1）先由导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程，（2）构造差函数：，再利用导数求其最小值，即得证，（3）先变量分离，将不等式恒成立问题转化为求对应函数最值问题：，其中，再利用导数求其最小值，可得实数的取值范围．

试题解析:（1），，

∴，

又切点坐标为，故所求切线方程为

（2）令，

令，得，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增

∴，从而.

（3）对任意的恒成立对任意的恒成立

令，

∴

由（2）可知当时，恒成立，

令，得；，得

∴的增区间为，减区间为，

∴

∴实数的取值范围是.