Question

【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.

（1）求出；

（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，

（3）根据你得到的关系式求的表达式

Answer 1

【答案】（1）41（2）f（n）=2n2﹣2n+1．

【解析】【试题分析】（1）先求出，找出规律，求出；（2）借助归纳推理找出规律：-；（3）借助（2）的规律-运用两边叠加的方法求解：

解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，

∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．

f（3）﹣f（2）=8=4×2，

f（4）﹣f（3）=12=4×3，

f（5）﹣f（4）=16=4×4

∴f（5）=25+4×4=41．

（Ⅱ）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．

∴f（2）﹣f（1）=4×1，

f（3）﹣f（2）=4×2，

f（4）﹣f（3）=4×3，

…

f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4（n﹣2），

f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）

∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）n，

∴f（n）=2n2﹣2n+1．