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【题目】已知中心在原点的双曲线
的右焦点为
,右顶点为
.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
与双曲线恒有两个不同的交点
和
，且
(其中
为坐标原点)，求实数
取值范围.
参考答案：
【答案】（1）
－y2＝1
（2）(－1，－
)∪(，1)
【解析】
(1)设双曲线C的方程为
－
＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝
，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1．
(2)将y＝kx＋
代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由题意得
，
故k2≠
且k2<1 ①．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝
，xAxB＝
，
由
·
>2得xAxB＋yAyB>2，
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝
，
于是>2，即
>0，解得<k2<3 ②．
由①②得<k2<1，
所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．
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查看答案和解析>>【题目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，E，F分别是A1C1 ， B1C1上的点，且满足A1E=EC1 ， B1F=3FC1 ．
（1）求证：平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均相等，求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值． -
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查看答案和解析>>【题目】设椭圆
的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为
，
．（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点，
与直线
交于点M，且点P，M均在第四象限．若
的面积是
面积的2倍，求
的值． -
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查看答案和解析>>【题目】我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从 老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能 自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行 统计，样本分布被制作成如图表：
（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发 放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下 老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100 元．试估计政府执行此计划的年度预算． -
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查看答案和解析>>【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 右顶点为A，上顶点为B，离心率为e．椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且CF1⊥x轴．
（1）若OC∥AB，求e的值；
（2）连结CF2并延长交椭圆于另一点D若
≤e≤ 
，求 
的取值范围．
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查看答案和解析>>【题目】已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．
（1）当a=0时，求函数f（x）在[
，1]上的最小值；
（2）若x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；
（3）若x＞0，不等式f（
）﹣1≥ e 
+ 
恒成立，求a的取值范围． -
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查看答案和解析>>【题目】某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示。
（1）求第3、4、5组的频率；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率。
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