Question

【题目】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；(2)．

【解析】

分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.

（II）设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意可得.

易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.

详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．

所以，椭圆的方程为．

（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，

点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，

从而，即．

易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．

当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．

所以，的值为．