Question

【题目】如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点，．

（1）求的长；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接交于点，等腰三角形中利用“三线合一”证出，因此分别以、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出、、、

各点的坐标，设，根据为边的中点且，算出，从而得到，可得的长；（2）由（1）的计算，得，，．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出和分别为平面、平面的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角的正弦值．

试题解析：（1）如图，连接交于点，

∵，平分角，∴，

以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，

则，而，可得，

又∵，

∴可得，，，，

由于⊥底面，可设，

∵为边的中点，∴，由此可得，

∵，且，

∴，解得（舍负），

因此，，可得的长为．

（2）由（1）知，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

∵，且，∴，取，得，

同理，由且，解出．

∴向量，的夹角余弦值为，

因此，二面角的正弦值等于．