Question

【题目】如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论

Answer 1

【答案】S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ

【解析】类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.

证明：如图，设点在底面的射影为点，过点作，交于，连接，

就是平面PAB与底面ABC所成的二面角，则，

，

同理，，

又，S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.