Question

【题目】已知F1、F2分别是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，
∴F1P2+F2P2=F1F22 ，
又根据曲线的定义得：
F1P﹣F2P=2a，
平方得：F1P2+F2P2﹣2F1P×F2P=4a2
从而得出F1F22﹣2F1P×F2P=4a2
∴F1P×F2P=2（c2﹣a2）
又当△PF1F2的面积等于a2
即 F1P×F2P=a2
2（c2﹣a2）=a2∴c= a，
∴双曲线的离心率e= = ．
故选A．
先设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，进而在RT△PF1F2中结合双曲线的定义和△PF1F2的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．