Question

【题目】已知函数f（x）=x2+mx+n有两个零点﹣1与3．
（1）求出函数f（x）的解析式，并指出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若g（x）=f（|x|）在x1 ， x2∈[t，t+1]是增函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x2+mx+n有两个零点﹣1与3，由韦达定理，可得：m=﹣2，n=﹣3，

故得函数f（x）的解析式f（x）=x2﹣2x﹣3，

解析式化简得f（x）=（x﹣1）2﹣4．

对称轴x=1，

∴f（x）的增区为（1，+∞）

（2）解：∵g（x）=f（|x|），由（1）得f（x）=x2﹣2x﹣3

∴g（x）=x2﹣2|x|﹣3

画g（x）的图象如下：

由图象可知：[﹣1，0]和[1，+∞）是单调递增区间；

∵函数g（x）要使[t，t+1]是增函数，

由图观察可得：t=﹣1或t≥1．

故得实数t的取值范围是{t|t=﹣1或t≥1}．

【解析】（1）函数有两个零点﹣1与3，由韦达定理可求解m，n的值，可得函数f（x）的解析式，利用二次函数的性质可得单调性．（2）求出g（x）的解析式，画出图形，数形结合可求得t的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能得出正确答案．