Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）由函数f（x）为R上的奇函数，有f（0）=0，可求出b值，再由

f（1）=﹣f（﹣1），可求出a值.（2）用定义法证明函数的单调性，需按取值、作差、判断符号、下结论等步骤进行.

(3)由f（x）是R上的奇函数且f（kx2）+f（2x﹣1）＞0，可得f（kx2）＞f（1-2x）, 又由f（x）在R上单调递减，有kx2＜1-2x.原问题等价于对任意都有kx2＜1﹣2x成立，采用分离常数法将不等式转化为k＜，则需k＜即可，最终问题转化为求g（x）=在的最小值问题.

试题解析：

（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，解得b=1，

f（x）= ，又由f（1）=﹣f（﹣1），解得a=2．

（2）证明：由（1）可得：f（x）=．

x1＜x2 ， ∴ ，

则f（x1）﹣f（x2）=,

∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在R上是减函数．

（3）∵函数f（x）是奇函数．

∴f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，等价于f（kx2）＞﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x）成立，

∵f（x）在R上是减函数，∴kx2＜1﹣2x，

∴对于任意都有kx2＜1﹣2x成立，

∴对于任意都有k＜，

设g（x）=，

∴g（x）=，

令t= ，t∈[，2]，

则有，∴g（x）min=g（t）min=g（1）=﹣1

∴k＜﹣1，即k的取值范围为（﹣∞，﹣1）