Question

【题目】如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：由已知得AB⊥AD，AB⊥DE．
因为AD∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．
又AB平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD
（Ⅱ）解：设AD的中点为O，连接EO．
因为△ADE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD．
因为 平面ADE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD=AD，EO平面ADE，
所以EO⊥平面ABCD．
以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．

由已知，得E（0，0， ），B（1，2，0），C（﹣1，1，0）．
所以 =（1，﹣1， ）， =（2，1，0）．
设平面BCE的法向量 =（x，y，z）．
则 ，
令x=1，则 =（1，﹣2，﹣ ）．
又平面ADE的一个法向量 =（0，1，0），
所以cos＜ ＞= =﹣ ．
所以平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小为 ．
（Ⅲ）在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时 ．
理由如下：
设BE的中点为G，连接CG，FG，
则FG∥AB，FG= ．
因为AB∥CD，且 ，所以FG∥CD，且FG=CD，
所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．
因为CG平面BCE，且DF平面BCE，
所以DF∥平面BCE
【解析】（Ⅰ）推导出AB⊥AD，AB⊥DE，从而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE⊥平面ABCD．（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO，推导出EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD．以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小．（Ⅲ）设BE的中点为G，连接CG，FG，推导出四边形CDFG是平行四边形，从而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时 ．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．