Question

【题目】已知函数 ．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意 ，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：由已知得，f（x）的定义域为（0，+∞）．
（Ⅰ） ，．
令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1．
所以函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞），
（Ⅱ）由xln（kx）﹣kx+1≤mx，
得 ，即m≥f（x）max ．
由（Ⅰ）知，
（i）当k≥2时，f（x）在 上单调递减，所以 ，所以m≥0；．
（ii）当0＜k≤1时，f（x）在 上单调递增，所以 ，
所以 ；
（iii）当1＜k＜2时，f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
又 ， ，
①若 ，即 ，所以1＜k＜2ln2，此时 ，
所以 ．
②若 ，即 ，所以2ln2≤k＜2，此时f（x）max=0，所以m≥0
综上所述，当k≥2ln2时，m≥0；
当0＜k＜2ln2时， ．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为m≥f（x）max ， 通过讨论k的范围，求出f（x）的最大值，从而求出m的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．