Question

【题目】已知函数（），，．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，的两个极值点为，（）．

①证明：；

②若，恰为的零点，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)当时，的单调增区间为，单调减区间为，当时，的单调递增区间为；(2)①证明见解析；②．

【解析】

试题分析：(1)对函数求导，对参数分类讨论，利用导数的正负求得函数的单调区间；(2)①对函数求导得，得的两根,即为方程的两根；利用韦达定理得，，令（），由，得，两边同时除以，得，且，求得的取值范围，从而证得结论；②由，为的零点，代入相减得，故，令（），，求导后利用函数的单调性求得其最小值，从而求得所求结果.

试题解析：（1）∵函数，∴，；

当时，由解得，即当时，，单调递增；

由解得，即当时，，单调递减；

当时，，故，即在上单调递增；

∴当时，的单调增区间为，单调减区间为；

当时，的单调递增区间为．

（2）①，则，

∴的两根,即为方程的两根；

又∵，∴，，

令（），由，得，

因为，两边同时除以，得，且，

故，解得或，∴，即．

②∵，为的零点，

∴，，

两式相减得，

∵，

∴，

令（），，

则，在上是减函数，

∴，

即的最小值为．