Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，且过点．若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线： 与椭圆相交于， 两点，且， 两点的“椭点”分别为， ，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：(1) 由,用表示，将点代入椭圆方程可求出的值，从而求出的值，得到椭圆的方程；(2) 设，则，由以为直径的圆经过坐标原点，得即，将直线方程代入椭圆方程，由根与系数关系得到，代入关系式得到与的关系式，再求出弦长与点到直线的距离，即可求得三角形的面积.

试题解析： （Ⅰ）由，得，………………（1分）

又，………………（2分）

椭圆，

因点在上， ，得，…………（3分）

，………………（4分）

所以椭圆的方程为： ；…………（5分）

（Ⅱ）设，则，

由以为直径的圆经过坐标原点，得，

即（1）………………（6分）

由，消除整理得： ，

由，得，

而（2）………………（7分）

（3）

将（2）（3）代入（1）得： ，

即，………………（8分）

又，………………（9分）

原点到直线的距离，………………（10分）

，………………（11分）

把代入上式得，即的面积是为.………………（12分）